Acalon.e²

La longitud de onda térmica de Broglie para la molécula de hidrógeno a una temperatura de 300 K es del orden de:
1 10^-4 cm
2 10^-6 cm
3 10^-8 cm
4 10^-10 cm
5 10^-12 cm

Esta la hice así:
\lambda_t=h/sqrt(2*pi*m*KT) cogiendo m=0.028Kg/mol y diviendo por el número de Avogadro, total que en cm obtuve 10^-9 así que marqué la 4, ¿ qué os parece, hay algún error de cálculo que no consigo ver?

Yo aquí marqué la 5.

la longitud de onda térmica de de Broglie es:

\(\lambda=\frac{h}{\sqrt{3mKT}\)

con m la masa de la molécula de hidrógeno=2uma=2x1,67x10^{-27}kg

He leido la pregunta no se cuantas veces y todas las veces he leído Nitrógeno
Pues yo pensaba que hacia referencia a la longitud de onda térmica que se usa en física estadística, si no hubiese puesto lo de térmica estaría más claro, aunque igualmente lo habría hecho con la del nitrógeno claro está. Usando la de De Broglie si que obtengo la 3

Bueno, yo la verdad que por longitud de onda térmica sólo conozco la fórmula que he puesto. Pero si alguien sabe de otra definición , le agradecería mucho que la colgara porque así aprendemos todos. Para llegar a (1), se parte de:

\(\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mE}}\)

Ahora igualamos la energía cinética E a la de excitación térmica, para una molécula, N=1, y si tenemos en cuenta sólo los grados de libertad asociados a la traslación (no consideramos las rotaciones) tenemos:
\(E=\frac{3KT}{2}\)

Total, que sustituyendo llegamos a
\(\lambda=\frac{h}{\sqrt{3mKT}}\)

Donde m es la masa de la molécula.

La que había usado yo es la longitud de onda térmica que aparece en física estadística tiene que ver con el rango de validez térmico en el que para valores inferiores tienen importancia los efectos cuánticos. Es muy parecido al concepto de la onda de De Broglie, de hecho es lo mismo cambiando un 3 por un 2*pi, por eso digo que hubiera sido mejor no incluir la palabra térmica en el enunciado, porque así no había margen de error ( a no ser que te inventes el gas claro está), ya que entonces se entiende que el momento de las partículas es debido a la agitación térmica y se debe considerar la longitud de onda de de Broglie, tal y como has hecho.

Ok. De todas formas, pienso que a efectos de órdenes de magnitud que es lo que nos pide la pregunta, la diferencia entre un tres y un dos pi no es relevante.

La longitud de onda térmica de De Broglie, efectivamente, obedece las expresiones:
\(\lambda=\frac{h}{\sqrt{3mkT}}\) para el gas clásico y \(\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}\) para el gas cuántico.
Con la expresión para el gas cuántico sale justo 10-10 m, es decir 10-8 cm, la 3.

¿ y como sabes si tienes que usar uno o la otra? (en el enunciado no dice nada )

Yo creo que la molécula de hidrógeno se debe considerar una partícula cuántica, por lo que debe usarse la expresión con el 2pi.

Pero el 10^-10 clavao sale con la del 3. Mira te pongo las cuentas que las acabo de hacer:
\(\lambda = \frac{h}{\sqrt{3\times 2u \times k \times 300}} \approx 1.03 \cdot 10^{-10}\)
donde u es la unidad de masa atómica (1.66053873x10^-27 kg).

PD1: Yo la dejé en blanco, así que te permito cambiar de opinión jiji
PD2: En el caso de que no, vale, molécula de hidrógeno=cuántica
y para que tipo de gases usaría la otra? con elemento más pesados en plan oxígeno, nitrógeno...?

La masa del hidrógeno es 1u, no 2. A mí con la forma cuántica me sale \(1.004\cdot 10^{-10} \text{m}\).

Respecto a cuando usar la fórmula clásica, el límite clásico es precisamente la condición \(n\lambda^3\ll 1\), lo que se produce a temperatura suficientemente alta o densidad suficientemente baja. Más que eso no sé decirte. En todo caso, la expresión cuántica siempre es más correcta que la clásica.

Ok y ya la última duda de este aleberrei, te lo prometo que el enunciado dice "molécula de hidrógeno"
es decir, \(H_2\) y por lo tanto masa igual a dos 2uma entiendo yo.

Coño, pues es verdad. Vamos, en todo caso el orden de magnitud es el mismo, así que la cosa está clara.

Mejor pensado, no, no es el mismo con la expresión cuántica (baja un orden de magnitud). Así que yo que sé

Pues al bajar un orden de magnitud voy a intentar aprovechar
que no hay opción 10^-9. Dudo mucho que esta impugnación prospere pero bueno, entre que la redacte y tal, me aprenderé la dichosa fórmulita de memoria si o si.