Acalon.e²

Este año les ha dado por poner del gas de Van der Waals. Yo conté tres (la 70, la 83 y la 84).
Ni idea ninguna de ellas. Empiezo con la más difícil de las tres (=la que contesto menos gente), la 83:

83. La ecuación de estado de un gas real se puede
describir mediante: p=RT/(V-B)-a/V^2 , donde p,
V y T son presión, volumen y temperatura,
respectivamente, a y b constantes característi-
gas, y R la constantes universal de los
gases. Determine el valor del llamado coeficien-
te de Joule-Thomson del gas (∂U/∂V)_T

1. p.
2. R/(V-B).
3. RT/(V-B).
4. a/V^2 .
5. p(∂S/∂V)_T.

He buscado coeficiente de Joule-Thomson en internet esta tarde y he encontrado cosas como:
\(\mu=\frac{V}{C_p}(\alpha T -1)\)
\(\mu=\left(\frac{\partial T}{\partial p} \right)_H\)
\(\mu=\frac{1}{C_p}\left(\frac{2a}{RT}-\frac{3abP}{R^2T^2}-b \right)\)
y otras cosas, pero ninguna de las soluciones ofrecidas. Alguien que lo hiciese bien en el examen, help!

No tengo ni idea, lo siento

A partir de:

\(dU = TdS - PdV\)

Se obtienen dos ecuaciones:

\(\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S = - P\)
\(\left(\frac{\partial U}{\partial S} \right)_V = T\)

Ahora, dU se puede expresar en función de la entropía S y el volumen V:

\(dU = \left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV\)

de donde sacas:

\(\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_V \left( \frac{\partial S}{\partial V}\right)_T+\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S \left( \frac{\partial V}{\partial V}\right)_T\)

Ahora, teniendo en cuenta la relación de Maxwell

\(\left( \frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\)

pues te queda al final del todo, susituyendo las dos ecuaciones de arriba y la ecuación de Maxwell en la ecuación del coeficiente que piden:


\(\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P\)

Haces el cálculo y te sale

\(\frac{a}{V^2}\)

Solución nº 4

Esa relación de Maxwell se obtiene a partir de la energía de Helmholtz:

\(dH = -PdV - SdT\)

Yo me sabía la fórmula de los gases ideales XD

Para más detalle:

A partir de la función de Helmholtz:

\(P = -\left( \frac{\partial H}{\partial V} \right)_T\)
\(S = -\left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_V\)

Si ahora derivas la primera respecto a T y la segunda respecto a V:

\(\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = -\frac{\partial^2 H}{\partial V \partial T}\)
\(\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = -\frac{\partial^2 H}{\partial T \partial V}\)

Deben ser iguales, y te da la relación de Maxwell que hace falta p'al problema.

Pues, me queda claro que la RC es la 4 (yo es que con tantas derivadas parciales enseguida me lío o gasto demasiado tiempo) En cualquier caso, muchas gracias marcocangrejo.

Yo la hice identificando que la ecuación de estado que da la pregunta es la de Van der Waals. En la siguiente pregunta viene u(T,V) para un gas de este tipo, y calculé la derivada parcial.

bien visto ;D

Yo creo que lo despista un poco es que te dicen que determines el coeficiente de joule-thomson (experiencia del tabique poroso) a H=cte y en principio la expresión que hay que calcular no tiene nada que ver. Y aunque se refiriesen al coeficiente de Joule (expansión libre) tampoco tiene que ver. Sería el único argumento para impugnar!

Yo voy a tratar de impugnar esto, ya que eso no es coeficiente de Joule-thompson

Yo estoy con vosotros, que perdí un montón de tiempo y no llegué a nada!

Una cosilla, en la impugnación que se ha subido al ftp, el texto habla del coeficiente de Joule-Kelvin, y en el problema nos pedían el de Joule-Thomson. Creéis que va a colar?

William Thomson, lord Kelvin. Son la misma persona.

Lila escribió:Una cosilla, en la impugnación que se ha subido al ftp, el texto habla del coeficiente de Joule-Kelvin, y en el problema nos pedían el de Joule-Thomson. Creéis que va a colar?

Lo he subido yo, es lo mismo ambos coeficientes son lo mismo, o eso he podido comprobar