83

[Usuario0410]

Este año les ha dado por poner del gas de Van der Waals. Yo conté tres (la 70, la 83 y la 84).
Ni idea ninguna de ellas. Empiezo con la más difícil de las tres (=la que contesto menos gente), la 83:

83. La ecuación de estado de un gas real se puede
describir mediante: p=RT/(V-B)-a/V^2 , donde p,
V y T son presión, volumen y temperatura,
respectivamente, a y b constantes característi-
gas, y R la constantes universal de los
gases. Determine el valor del llamado coeficien-
te de Joule-Thomson del gas (∂U/∂V)_T

1. p.
2. R/(V-B).
3. RT/(V-B).
4. a/V^2 .
5. p(∂S/∂V)_T.

He buscado coeficiente de Joule-Thomson en internet esta tarde y he encontrado cosas como:
\(\mu=\frac{V}{C_p}(\alpha T -1)\)
\(\mu=\left(\frac{\partial T}{\partial p} \right)_H\)
\(\mu=\frac{1}{C_p}\left(\frac{2a}{RT}-\frac{3abP}{R^2T^2}-b \right)\)
y otras cosas, pero ninguna de las soluciones ofrecidas. Alguien que lo hiciese bien en el examen, help!

[Lila]

No tengo ni idea, lo siento

[marcocangrejo]

A partir de:

\(dU = TdS - PdV\)

Se obtienen dos ecuaciones:

\(\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S = - P\)
\(\left(\frac{\partial U}{\partial S} \right)_V = T\)

Ahora, dU se puede expresar en función de la entropía S y el volumen V:

\(dU = \left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV\)

de donde sacas:

\(\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_V \left( \frac{\partial S}{\partial V}\right)_T+\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S \left( \frac{\partial V}{\partial V}\right)_T\)

Ahora, teniendo en cuenta la relación de Maxwell

\(\left( \frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\)

pues te queda al final del todo, susituyendo las dos ecuaciones de arriba y la ecuación de Maxwell en la ecuación del coeficiente que piden:


\(\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P\)

Haces el cálculo y te sale

\(\frac{a}{V^2}\)

Solución nº 4

[marcocangrejo]

Esa relación de Maxwell se obtiene a partir de la energía de Helmholtz:

\(dH = -PdV - SdT\)

[Lila]

Yo me sabía la fórmula de los gases ideales XD

[marcocangrejo]

Para más detalle:

A partir de la función de Helmholtz:

\(P = -\left( \frac{\partial H}{\partial V} \right)_T\)
\(S = -\left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_V\)

Si ahora derivas la primera respecto a T y la segunda respecto a V:

\(\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = -\frac{\partial^2 H}{\partial V \partial T}\)
\(\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = -\frac{\partial^2 H}{\partial T \partial V}\)

Deben ser iguales, y te da la relación de Maxwell que hace falta p'al problema.

[Usuario0410]

Pues, me queda claro que la RC es la 4 (yo es que con tantas derivadas parciales enseguida me lío o gasto demasiado tiempo) En cualquier caso, muchas gracias marcocangrejo.

[mowgli]

Yo la hice identificando que la ecuación de estado que da la pregunta es la de Van der Waals. En la siguiente pregunta viene u(T,V) para un gas de este tipo, y calculé la derivada parcial.

[marcocangrejo]

bien visto ;D

[murias]

Yo creo que lo despista un poco es que te dicen que determines el coeficiente de joule-thomson (experiencia del tabique poroso) a H=cte y en principio la expresión que hay que calcular no tiene nada que ver. Y aunque se refiriesen al coeficiente de Joule (expansión libre) tampoco tiene que ver. Sería el único argumento para impugnar!

[B3lc3bU]

Yo voy a tratar de impugnar esto, ya que eso no es coeficiente de Joule-thompson

[Lila]

Yo estoy con vosotros, que perdí un montón de tiempo y no llegué a nada!

[Lila]

Una cosilla, en la impugnación que se ha subido al ftp, el texto habla del coeficiente de Joule-Kelvin, y en el problema nos pedían el de Joule-Thomson. Creéis que va a colar?

[Cassandra]

William Thomson, lord Kelvin. Son la misma persona.

[B3lc3bU]

Una cosilla, en la impugnación que se ha subido al ftp, el texto habla del coeficiente de Joule-Kelvin, y en el problema nos pedían el de Joule-Thomson. Creéis que va a colar?

Lo he subido yo, es lo mismo ambos coeficientes son lo mismo, o eso he podido comprobar