Dudas Matemáticas Oficiales

[pax]

He estado haciendo un repasillo de las preguntas de matématicas de los oficiales (reconozco que suelo pasar de ellas, pero el año nuevo me ha traído un poco de voluntad )
Bueno, que tengo algunas dudillas existenciales (me limito a las que creo que debería saber hacer y no sé..evidentemente tengo infinitas más)

2008

230.Consideremos M números naturales cuya suma sea un número fijo N, es decir, N = n1 + … + nM. ¿Cuántas formas distintas de escoger estos M naturales hay?:(Considere que importa el orden de la suma y el 0 también se puede utilizar)
1.(N + M)! / (N! M!).
2.(N + M – 1)! / (N! (M – 1)!).
3.(N + M + 1)! / (N! M!).
4.(N + M – 1)! / (N! M!).
5. (N + M )! / (N! (M – 1)!).

Yo lo planteo así:
Primero hay que escoger los número n_1.. n_m.
Para escoger n1 tienes N+1 posibilidades (que sea 0, 1, 2,...N)
Para escoger n2 tienes N+1-n1 posibilidades (que sea 0, 1, 2,...N-n1)
...................................
Para escoger nm tienes N+1-n1-n2-...n_(m-1) posibilidades (que sea 0, 1, 2,...,N-n1-n2-..-n_(m-1))

Es decir, los posibles conjuntos de números son:
\(C=(N+1)(N+1-n_{1})(N+1-(n_1+n_2))\cdot\cdot\cdot(N+1-(n_1+n_2+...+n_{m-1}))\)

El número posible de ordenaciones de los conjuntos n1,n2,..,nm, una vez escogidos es:
\(P^{n_{1}n_{2}...n_{m}}_{N}=\frac{N!}{n_{1}!n_{2}!...n_{m}!}\)

Yo creo que el número total de posibilidades es:
\(P=N!\frac{(N+1)(N+1-n_{1})(N+1-(n_1+n_2))\cdot\cdot\cdot(N+1-(n_1+n_2+...+n_{m-1}))}{n_{1}!n_{2}!...n_{m}!}\)

Que por supuesto no tiene nada que ver con la respuesta, y si se puede reducir a ella no se como la verdad...
¿Vosotros como la haceis/intentais?

243.¿Cuál es el error relativo que se comete al usar la aproximación de Stirling (ln n!) para n = 60?:
1.0.23%.
2.1.57%.
32.45%.
4.5.6%.
5. 10.5%.

\(ln (n!) \approx nln(n)-n-ln\sqrt{2\pi n}\)
qu aplicado a 60 y luego elevando\(e^{ln(n!)}=(n!)_{stir}=8,30943\cdot 10^{81}\)
El error relativo\(\frac{(n!)_{stir}-n!}{n!}100=-0.14 %\)

Error Taylor 2009 vs 2011

232. Considere el desarrollo en serie de Taylor de la función f(x) = sen(x) hasta orden 3. ¿Qué error relativo se comete al considerar esta aproximación para el valor x = π/2?:
1. 4.6%.
2. -7.5%.
3. -8.6%.
4. -9.4%.
5. 3.5%.

Ésta si me sale. eso sí, suponiendo que hay que desarrolar en torno a cero, sino pues ni idea de que hacer.
Hago:
\(sen(x)\approx x - \frac{x^3}{3!}=0.9248 \epsilon= \frac{sen(x)_{T}-sen{(x)}}{sen(x)}100= -7.5%\)

224. Considere el desarrollo en serie de Taylor de la función ƒ(x)=(1 + x)^-1 hasta orden 3 para |x| < 1.
¿Qué error relativo se comete al considerar esta aproximación para el valor x = 0.1 con respecto al valor exacto?:
1. -0.01%.
2. -0.001%.
3. 0.00909%.
4. 0.01%.
5. 0.1%.

\(f_{T}=\sum _{n}\frac{f^{n)}(x)x^n}{n!}=1-x+x^2-x^3\)
Y el error \(\epsilon=\frac{f_{T}(0.1)-f(0.1)}{f(0.1)}100=-0.01%\) que sería la 1, siendo coherentes con el del 2009.

¿Alguna idea?

Gracias de antemano!

[Zulima]

230.Consideremos M números naturales cuya suma sea un número fijo N, es decir, N = n1 + … + nM. ¿Cuántas formas distintas de escoger estos M naturales hay?:(Considere que importa el orden de la suma y el 0 también se puede utilizar)
1.(N + M)! / (N! M!).
2.(N + M – 1)! / (N! (M – 1)!).
3.(N + M + 1)! / (N! M!).
4.(N + M – 1)! / (N! M!).
5. (N + M )! / (N! (M – 1)!).

Aquí sólo se me ocurren dos cosas. La primera, que es la única fórmula que encaja con la de combinaciones con repetición.
La segunda, que te cojas un ejemplo numérico pequeño y hagas pruebas. Usar dos números naturales cuya suma sea 5 -> M=2, N=5. Tienes las posibilidades 0+5, 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 5+0. En total 6 posibilidades. El único resultado que encaja es el segundo. Es un poco así a ojímetro, y yo no lo haría ni de coña en el examen (a no ser que me sobrara mogollón de tiempo, cosa que dudo mucho).

243.¿Cuál es el error relativo que se comete al usar la aproximación de Stirling (ln n!) para n = 60?:
1.0.23%.
2.1.57%.
32.45%.
4.5.6%.
5. 10.5%.

Yo aquí uso directamente la definición de la aproximación de Stirling, hago la diferencia de ambos resultados y divido:
60ln(60)-60 = 186,66067
ln(60!)=188,82817
(188,82817-186,66067) x 100/ 186,66067 = 0,0158x100 = 1,58%

232. Considere el desarrollo en serie de Taylor de la función f(x) = sen(x) hasta orden 3. ¿Qué error relativo se comete al considerar esta aproximación para el valor x = π/2?:
1. 4.6%.
2. -7.5%.
3. -8.6%.
4. -9.4%.
5. 3.5%.

Ésta la hago exactamente igual que tú, y ni idea de por qué hay que desarrollar en torno a cero...
Con las demás, de momento al menos no puedo ayudarte.

[pax]

243.¿Cuál es el error relativo que se comete al usar la aproximación de Stirling (ln n!) para n = 60?:
1.0.23%.
2.1.57%.
32.45%.
4.5.6%.
5. 10.5%.

Yo aquí uso directamente la definición de la aproximación de Stirling, hago la diferencia de ambos resultados y divido:
60ln(60)-60 = 186,66067
ln(60!)=188,82817
(188,82817-186,66067) x 100/ 186,66067 = 0,0158x100 = 1,58%

Gracias zulima!
Hay una cosilla que sigo sin entender... ¿por qué quitas el término de \(ln(\sqrt{2\pi n})\)?
Yo siempre había utilizado \(n!=n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\), y al ver que usando el neperiano de ésto no salía es cuando he empezado a complicarme la vida

[Zulima]

Pues si te digo la verdad, lo del desarrollo de Stirling me lo enseñaron en Física Estadística. El profesor puso los 3 términos que tú dices pero nos comentó sutilmente que el tercero no suele usarse nunca! Así que desde entonces jamás lo he usado
He editado el post anterior para el primer ejercicio que ponías, por si te sirve

[pax]

ok, tomo nota! a partir de ahora fuera la raiz!! jaja
Me gusta tu método ojimétrico, aunque no acabo de ver como encaja el ejercicio con las combinaciones con repetición.
Yo pasaría sin dudarlo en el exámen, pero en casa parece que me gusta perder el tiempo en estas cosas

Gracias!

[krittt]

224. el error no hay que darlo en valor absoluto? cierto que en el 232 lo ponen en negativo...

de acuerdo con el resto. con el 230 lo más que hice fue lo mismo que comentas Zulima, probar con un ejemplo sencillo, cuando traté de meterme más a fondo me hice un buen lio

[Pinzas]

230. Yo no se mucho de esto... Pero...yo lo q tenía entendido era, que si importaba el orden, tal como te dice el enunciado, Sólo podía ser variación o permutación!
Combinación solo era cuando No importaba el orden...