Siempre caen, contadores y varianzas

[felixnavarro]

Con este nombre no te has podido resistir y has entrado ¿a que sí? Pues vamos allá:

Voy a ir poniendo problemas, como los he solucionado para que me de el resultado pero que no sé muy bien por que se hacen así.

2008.233: Las estaturas de 3000 estudiantes presentan una
distribución normal de media 68,0 pulgadas y
desviación estándar 3,0 pulgadas. Si se obtienen
80 muestras de 25 estudiantes de cada una, de-
termine la desviación estándar de la distribución
muestral de medias si éstas se tomaron con
reemplazo:

1. 0,3 pulgadas.
2. 1,2 centímetros.
3. 0,6 pulgadas.
4. 2,79 pulgadas.
5. 3 pulgadas.

Esto me suena al teorema de límite central o central del límite o como se llame: \({\sigma^2}_{medias}=\frac{{\sigma^2}_{distrib}}{n}\) y en este caso \({\sigma^2}_{distrib}=3^2\) y se toman 80 muestras. Yo habría hecho deviación=raíz(9/80) pero así no sale. Para que salga el resultado hay que hacer desviación=raíz(9/25). Pero esto sería la desviación de cada una de las 80 muestras¿no?
¿Será que no he entendido lo del límite?

2008.240. Determinar la tasa de desintegración e incerti-
dumbre de la siguiente serie de medidas de cuen-
tas por minuto de una fuente de 22Na:
2201 2145 2222 2160 2300

1. 2206 ± 441 cuentas/min.
2. 2206 ± 47 cuentas/min.
3. 2206 ± 155 cuentas/min.
4. 2206 ± 21 cuentas/min.
5. 2206 ± 12 cuentas/min.

Aquí si que sí. La media es fácil y la desviación=sqrt(lambda/n) aplicando lo del límite. Sólo hay que saber que la media de las muestras coincide con la de la fuente y que, además, en una distribución de poisson coincide con la varianza. ¿En el anterior por qué no se puso entonces un 80 cuando se dividió?

2007.198. Se mide la actividad de una fuente radiactiva
obteniéndose una medida de 1000 impulsos en 10
minutos. Si se obtiene una medida del fondo am-
biental de 600 impulsos en 15 minutos, el número
de impulsos por minuto proporcionado por la
fuente será:

1. 60 ± 1.6.
2. 60 ± 3.2.
3. 100 ± 12.
4. 60 ± 3.6.
5. 60 ± 4.8.

Primero lo hago buscando el resultado correcto y luego intento razonar lo hecho (no me mires así, ya sé que se hace al revés).
Media= 1000/10 - 600/15 = 60 <-- esto lo entiendo.
varSR= varianza de la señal y ruido. varR' = var del fondo pero normalizado a 10 minutos = varR·10^2/15^2=266.7.
Error = sqrt[ (varSR + varR' )/10^2 ]
Error = sqrt[ (1000 + 266.7)/10^2 ] = 3.6 <<<--- No entiendo lo de la suma. Si al medir S+R ya se tiene la suma de las varianzas de la señal y el ruido {poisson(l1)+poisson(l2)=poisson(l1+l2)} ¿por qué leche lo suma aquí cuando pregunta por la fuente? Si lo sumas obtienes el error de medida, que será el de una medida más el de la otra. Si quiere la fuente, ya que tenemos poisson(S+R) y poisson(ruido) para obtener el error de la medida de la fuente aislada tendríamos que hacer la diferencia no la suma ¿no? Si no mirad lo siguiente.

2007.186: En un experimento, la medida de la actividad de
una fuente radioactiva es 1250 MBq y la del fon-
do es 50 MBq. Si disponemos de 12 minutos.
¿Cuánto tiempo debemos destinar a cada medida
para minimizar el error estadístico?:

1. 6 minutos para la fuente y 6 minutos para el fondo.
2. 8 minutos para la fuente y 4 minutos para el fondo.
3. 9 minutos para la fuente y 3 minutos para el fondo.
4. 10 minutos para la fuente y 2 minutos para el fondo.
5. 11 minutos para la fuente y 1 minuto para el fondo.

| Error = sqrt(sigma2_SR)/T_SR - sqrt(sigma2_R)/T_R
| T_SR + T_R = 12

Con ese sistema de ecuaciones y haciendo el error = 0, sale T_SR=10 y TR=2. ¿Pero no habíamos quedado en que era la suma?

Hasta ahora, en cuanto al error, estábamos normalizando la varianza dividiendo por el tiempo al cuadrado. Esto es lógico porque varianza(k·X) = k^2·varianza(X). Pero si os fijais en el primero, cuando se ha obtenido la desviación típica de cada muestra, ha dividido la varianza por 25. Esto puede pasar porque sigma = sqrt( (x-mu)^2/N).

Ahora, ¿qué haríais en la siguiente?

2009.225: Se observa una muestra de tamaño n de una
población normal de media μ y varianza conocida σ2 = 64.
¿Cuál debe ser el tamaño muestral para que el intervalo
x ± 0,5 sea un intervalo de confianza del 95% para μ:

1. 1024.
2. 984.
3. 62941.
4. 31.
5. 61

Sé que 1.95σ alrededor de la media concentra el 95% de la probabilidad de una gaussiana. Entonces 1.95·σNormalizada= 0.5. Sigma normalizada debería ser sqrt(σ^2/N^2) pero NOOOO, es sqrt(σ^2/N).

Lo único que se me ocurre es que cuando habla de número de muestras divide por N la varianza y cuando habla de tiempo lo hace por N^2. Pffff, soy bastante cutre.

Entonces ¿ los siguientes como se hacen?

2000.220. A partir de una muestra radiactiva ¿cuántas
cuentas deben recogerse para tener un 4% error
con un nivel de confianza del 95%?
1.- 2500

Esta no es gaussiana, es de poisson así que no se puede hacer como el anterior pero vamos a suponer que son muchas y que, como no sé otra forma de hacerlo, se puede usar 1.96·sqrt(σ^2/N) = 0.04·media. La varianza debería ser igual a la media pero, para poder quitarla de la ecuación, hay que decir que σ^2 = media^2 . Con eso sale 2401 ¿?¿?

104. Al medir una muestra radiactiva con una tasa de
cuentas de 35 cpm (muestra más fondo) en un
ambiente cuyo fondo es de 25 cpm, interesarla que
la desviación estándar relativa de la tasa de cuentas
(muestra sola) fuese menor del 5% con un nivel de
confianza del 95%. La duración de la media deberá
ser:
1. 5 minutos.
2. 10 minutos.
3. 50 minutos.
4. 100 minutos.
5. 1000 minutos.

Si en las demás ya tengo dudas imaginad en esta.

84. Una muestra radiactiva produce 256 cuentas en 100
min. ¿Durante cuánto tiempo habríamos de medir
para dar el número de cuentas con un error del 1%?
1. 853 min
2. 3906,25 min
3. 3906,25 s.
4. 853 s
5. Me faltan datos

El error será \(\left(\frac{256}{100{\cdot}N} \right)^{\frac{1}{2}}\) y la media N·256/100 así que error/media = 0.01 y te sale N=3906

¿No habíamos quedado en que normalizar la varianza, cuando hablábamos de tiempo, se hacía con tiempo^2? Pues Noooo, no sé si esto es de Acalon o de un examen oficial.

Si alguien sabe como hacer estas, con fundamento y ricas ricas, si quiere, que ponga como las haría.

Siento utilizar las citas, pero en una entrada tan larga hay que separar claramente y creo que es la mejor manera posible.

[anvabell]

Hola, voy a intentar ayudarte pero te advierto que sobre este tema poseo las mismas dudas que tu, estas preguntas las tengo en la sección de misterios sin resolver...

Con este nombre no te has podido resistir y has entrado ¿a que sí? Pues vamos allá:

Voy a ir poniendo problemas, como los he solucionado para que me de el resultado pero que no sé muy bien por que se hacen así.

2008.233: Las estaturas de 3000 estudiantes presentan una
distribución normal de media 68,0 pulgadas y
desviación estándar 3,0 pulgadas. Si se obtienen
80 muestras de 25 estudiantes de cada una, de-
termine la desviación estándar de la distribución
muestral de medias si éstas se tomaron con
reemplazo:

1. 0,3 pulgadas.
2. 1,2 centímetros.
3. 0,6 pulgadas.
4. 2,79 pulgadas.
5. 3 pulgadas.

Esto me suena al teorema de límite central o central del límite o como se llame: \({\sigma^2}_{medias}=\frac{{\sigma^2}_{distrib}}{n}\) y en este caso \({\sigma^2}_{distrib}=3^2\) y se toman 80 muestras. Yo habría hecho deviación=raíz(9/80) pero así no sale. Para que salga el resultado hay que hacer desviación=raíz(9/25). Pero esto sería la desviación de cada una de las 80 muestras¿no?
¿Será que no he entendido lo del límite?

En esta lo que hago es calcular la desviación típica del valor medio: s(x)=S(x)/raiz(N); calculo la media de 80 muestras de 25 estudiantes: X=80/25= 3,2
Entonces: s(x)= 3,2/raiz(25)= 0,64 pulgadas. Pero realmente no estaría bien hecha, pero no tengo ni idea de llegar al resultado

2008.240. Determinar la tasa de desintegración e incerti-
dumbre de la siguiente serie de medidas de cuen-
tas por minuto de una fuente de 22Na:
2201 2145 2222 2160 2300

1. 2206 ± 441 cuentas/min.
2. 2206 ± 47 cuentas/min.
3. 2206 ± 155 cuentas/min.
4. 2206 ± 21 cuentas/min.
5. 2206 ± 12 cuentas/min.

Aquí si que sí. La media es fácil y la desviación=sqrt(lambda/n) aplicando lo del límite. Sólo hay que saber que la media de las muestras coincide con la de la fuente y que, además, en una distribución de poisson coincide con la varianza. ¿En el anterior por qué no se puso entonces un 80 cuando se dividió?

En esta hago lo mismo, y me hago la misma pregunta.

2007.198. Se mide la actividad de una fuente radiactiva
obteniéndose una medida de 1000 impulsos en 10
minutos. Si se obtiene una medida del fondo am-
biental de 600 impulsos en 15 minutos, el número
de impulsos por minuto proporcionado por la
fuente será:

1. 60 ± 1.6.
2. 60 ± 3.2.
3. 100 ± 12.
4. 60 ± 3.6.
5. 60 ± 4.8.

Primero lo hago buscando el resultado correcto y luego intento razonar lo hecho (no me mires así, ya sé que se hace al revés).
Media= 1000/10 - 600/15 = 60 <-- esto lo entiendo.
varSR= varianza de la señal y ruido. varR' = var del fondo pero normalizado a 10 minutos = varR·10^2/15^2=266.7.
Error = sqrt[ (varSR + varR' )/10^2 ]
Error = sqrt[ (1000 + 266.7)/10^2 ] = 3.6 <<<--- No entiendo lo de la suma. Si al medir S+R ya se tiene la suma de las varianzas de la señal y el ruido {poisson(l1)+poisson(l2)=poisson(l1+l2)} ¿por qué leche lo suma aquí cuando pregunta por la fuente? Si lo sumas obtienes el error de medida, que será el de una medida más el de la otra. Si quiere la fuente, ya que tenemos poisson(S+R) y poisson(ruido) para obtener el error de la medida de la fuente aislada tendríamos que hacer la diferencia no la suma ¿no? Si no mirad lo siguiente.

En esta lo que hago es obtener el error por propagación de errores cuadráticos: s=n-b; n numero de impulsos y b numero de impulsos del fondo, entonces el error viene dado por la raiz cuadrada de : (parcial s respecto a n por el error de n)^2 + parcial de s respecto a b por el error de b)^2; los errores de las variables si que son las desviaciones standar de cada una de las tasas de cuentas: sigma(n)=raiz(n)/t y para la otra tasa de cuentas igual. Sustituyes los datos y te sale el resultado.

2007.186: En un experimento, la medida de la actividad de
una fuente radioactiva es 1250 MBq y la del fon-
do es 50 MBq. Si disponemos de 12 minutos.
¿Cuánto tiempo debemos destinar a cada medida
para minimizar el error estadístico?:

1. 6 minutos para la fuente y 6 minutos para el fondo.
2. 8 minutos para la fuente y 4 minutos para el fondo.
3. 9 minutos para la fuente y 3 minutos para el fondo.
4. 10 minutos para la fuente y 2 minutos para el fondo.
5. 11 minutos para la fuente y 1 minuto para el fondo.

| Error = sqrt(sigma2_SR)/T_SR - sqrt(sigma2_R)/T_R
| T_SR + T_R = 12

Con ese sistema de ecuaciones y haciendo el error = 0, sale T_SR=10 y TR=2. ¿Pero no habíamos quedado en que era la suma?

me sabe mal pero no tengo tiempo de escribir correctamente las ecuaciones, pues estoy trabajando, rapidamente: condición de minimo: derivada del error igual a cero, despejas: T_SR/TB = raiz(SR/B), siendo SR fuente y B fondo; y con la otra ecuación resuelves y obtienes el resultado. No entiendo muy bien tu fómula, a ver si mañana tengo tiempo de escribir bien el razonamiento.

Hasta ahora, en cuanto al error, estábamos normalizando la varianza dividiendo por el tiempo al cuadrado. Esto es lógico porque varianza(k·X) = k^2·varianza(X). Pero si os fijais en el primero, cuando se ha obtenido la desviación típica de cada muestra, ha dividido la varianza por 25. Esto puede pasar porque sigma = sqrt( (x-mu)^2/N).

Ahora, ¿qué haríais en la siguiente?

2009.225: Se observa una muestra de tamaño n de una
población normal de media μ y varianza conocida σ2 = 64.
¿Cuál debe ser el tamaño muestral para que el intervalo
x ± 0,5 sea un intervalo de confianza del 95% para μ:

1. 1024.
2. 984.
3. 62941.
4. 31.
5. 61

Sé que 1.95σ alrededor de la media concentra el 95% de la probabilidad de una gaussiana. Entonces 1.95·σNormalizada= 0.5. Sigma normalizada debería ser sqrt(σ^2/N^2) pero NOOOO, es sqrt(σ^2/N).

Lo único que se me ocurre es que cuando habla de número de muestras divide por N la varianza y cuando habla de tiempo lo hace por N^2. Pffff, soy bastante cutre.

Entonces ¿ los siguientes como se hacen?

2000.220. A partir de una muestra radiactiva ¿cuántas
cuentas deben recogerse para tener un 4% error
con un nivel de confianza del 95%?
1.- 2500

Esta no es gaussiana, es de poisson así que no se puede hacer como el anterior pero vamos a suponer que son muchas y que, como no sé otra forma de hacerlo, se puede usar 1.96·sqrt(σ^2/N) = 0.04·media. La varianza debería ser igual a la media pero, para poder quitarla de la ecuación, hay que decir que σ^2 = media^2 . Con eso sale 2401 ¿?¿?

104. Al medir una muestra radiactiva con una tasa de
cuentas de 35 cpm (muestra más fondo) en un
ambiente cuyo fondo es de 25 cpm, interesarla que
la desviación estándar relativa de la tasa de cuentas
(muestra sola) fuese menor del 5% con un nivel de
confianza del 95%. La duración de la media deberá
ser:
1. 5 minutos.
2. 10 minutos.
3. 50 minutos.
4. 100 minutos.
5. 1000 minutos.

Si en las demás ya tengo dudas imaginad en esta.

84. Una muestra radiactiva produce 256 cuentas en 100
min. ¿Durante cuánto tiempo habríamos de medir
para dar el número de cuentas con un error del 1%?
1. 853 min
2. 3906,25 min
3. 3906,25 s.
4. 853 s
5. Me faltan datos

El error será \(\left(\frac{256}{100{\cdot}N} \right)^{\frac{1}{2}}\) y la media N·256/100 así que error/media = 0.01 y te sale N=3906

¿No habíamos quedado en que normalizar la varianza, cuando hablábamos de tiempo, se hacía con tiempo^2? Pues Noooo, no sé si esto es de Acalon o de un examen oficial.

Si alguien sabe como hacer estas, con fundamento y ricas ricas, si quiere, que ponga como las haría.

Siento utilizar las citas, pero en una entrada tan larga hay que separar claramente y creo que es la mejor manera posible.

Siento no serte de más ayuda, un saludo

[felixnavarro]

Bueno, después de estudiar un poco y darme cuenta de que he dicho una sarta de tonterías vamos a ver si estais deacuerdo en cómo se resuelven estos problemas.

2007.198:
Como bien dice Anavell la señal es Obj = (S+R)/10 - R/15 (S=señal, R=ruido) y por propagación de errores error^2=(raiz(1000)/10)^2+raiz(600)/10)^2.


2007.186

Anavell ¿podrías poner aquí como llegas a \(\frac{{{\sigma}_1}^2}{{T_1}^2}=\frac{{{\sigma}_2}^2}{{T_2}^2}\)?
Y con esto y que T1+T2=12 se obtiene el resultado.


2009.225

1.96·raíz(64)/raíz(n) = 0.5 <<--- el error absoluto en gaussianas desviación/raiz(muestras)


2000.220

El error relativo = error/media = raiz(cuentas)/cuentas. Como dicen que el error relativo del 4% debe estar en el intervalo del 95% de confianza 1.96 · error_relativo = 0.04


104. Al medir una muestra radiactiva con una tasa de
cuentas de 35 cpm (muestra más fondo) en un
ambiente cuyo fondo es de 25 cpm, interesarla que
la desviación estándar relativa de la tasa de cuentas
(muestra sola) fuese menor del 5% con un nivel de
confianza del 95%. La duración de la media deberá
ser:
1. 5 minutos.
2. 10 minutos.
3. 50 minutos.
4. 100 minutos.
5. 1000 minutos.

La media es 35-25 = 10. El 5% de eso es 0.5. Como he hecho en el 198.2007 el error_medida será raíz(error1^2+error2^2)=raíz(35+25).

1.96·error_medida/raiz(n) = error_absoluto = 0.5 ---> n= 931.

Parece que si se compara con el error absoluto se divide por raiz de n y si es con el error relativo se divide por n.


84. Una muestra radiactiva produce 256 cuentas en 100
min. ¿Durante cuánto tiempo habríamos de medir
para dar el número de cuentas con un error del 1%?
1. 853 min
2. 3906,25 min
3. 3906,25 s.
4. 853 s
5. Me faltan datos

error_rel = raiz(cuentas)/cuentas = 0.01 --> cuentas=10000
por lo visto la fuenta provoca 256/100 = 2.56 cpm
divide y vencerás 10000/2.56 = 3906,25 minutos.

[anvabell]

hola felixnavarro, ahora n encuentro el desarrollo xa llegar hasta la formula xo se k la saque de unos apuntes del laboratorio de nuclear. voy a intentar explicarla con palabras:
tenemos la actividad de la fuente y la del fondo y el tiempo total empleado xa medir ambas, y nos preguntan el tiempo destinado a cada medida xa que el error estadistico sea minimo, ahora bien el error sera:
sigma:raiz((s+b)/Ts+b + b/Tb) siendo s+b la actividad de la fuente y Ts+b el tiempo invertido en medir dicha actividad i idm xa el fondo q es b. entonces ahora hay q minimizar este error dsigma:0 y se obtiene:
Ts+b/Tb:raiz (s+b)/b no tngo delante los calculos del desarrollo teorico, pues anote la formula y la aprendi sin mas.
como disponemos de 12 minutos xa medir ambas actividades: Ts+b + Tb: 12
luego tenemos 2 ecuaciones con 2 incognitas, problema resuelto.
espero haberte sido de ayuda,
un saludo