Patri, gracias por repetir los argumentos
140. Un punto participa de dos m.a.s. simultáneamente que son de la misma dirección y de ecuaciones: x1=A cos (wt) y x2=A cos (2wt). La velocidad máxima del punto es:
Se trata de un problema de composición de MAS en la misma dirección y distinta frecuencia. Generalmente estos problemas se deben resolver usando fasores para obtener la ecuación del movimiento. Al hacerlo se obtengo:
\( x = x_1 + x_2 = \sqrt{2}A\cdot\sqrt{1 +\cos{\omega t}}\cdot\cos{(\frac{3}{2}\omega t)} \)
Corresponde a un movimiento armónico modulado por una amplitud que depende del tiempo.
Para obtener la velocidad máxima deberíamos derivar dos veces la expresión e igualarla a cero. Pero a parte de engorroso se obtiene una ecuación con yo no se resolver analíticamente. Por tanto, no es la mejor manera para solucionar este problema en a penas 1 min.
Como la composición del movimiento equivale a la suma independiente de los dos términos, las dobles derivadas afectan independintemente a los dos terminos, así que derivamos la expresión de la suma dos veces e igualamos a cero.
\( x = A\cos{\omega t} + A\cos{2\omega t}\)
\( \dot{x} = -\omega A\sin{\omega t} + -2\omega A\sin{2\omega t}\)
\( -\omega^2 A\cos{\omega t} + -4\omega^2 A\cos{2\omega t} = 0\)
Usando un poco de trigonometría se obtiene la expresión:
\( -8\cos^2{\omega t} - \cos{\omega t} + 4 = 0 \)
Esta se puede resolver con una ecuación de segundo grado, se obtienen dos soluciones que corresponden a maximos o mínimos relativos
\( \cos{\omega t}\) = 0.647 y -0.772
Sustituyendolos en la expresión de la velocidad se obtienen los extremos relativos. En concreto para
\( \cos{\omega t}= 0.647 \rightarrow \omega t = 0.867 \)
Se obtiene el valor
\( \dot{x} = - 2.73\omega A \)
Por tanto la velocidad máxima será
\(\boxed{\dot{x}_{max} =2.73\omega A}\)
