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[charlee8]

El potencial de una esfera hueca es:
* \(V(r) = \frac{3}{2}GM \frac{b^2 - a^2}{a^3 - b^3}\) para r < b
* \(V(r) = \frac{GM}{a^3 - b^3} (\frac{r^2}{2} + \frac{b^3}{r} - \frac{3}{2}a^2)\) para b < r < a
* \(V(r) = \frac{-GM}{r}\) para r > a

Luego para mi es perfectamente anulable. En todo caso sería cierta la 4 para el interior de la esfera, pero es que incluso entonces deberían decir "inversamente proporcional a \((a^3 - b^3)\)"

[Plissken]

Pues parece clara. Yo iré el lunes a la biblio a buscar pruebas de todo esto

[charlee8]

Extracto del Marion (uno de mis favoritos para mecánica):

\(V(r >a) = - \frac{GM}{r}\)
Este resultado nos dice que el potencial en un punto exterior a una distribución de materia esféricamente simétrica (hueca o maciza) es independiente del tamaño de la misma. Por tanto, a efectos del cálculo del potencial (o de la fuerza), la totalidad de la masa puede considerarse concentrada en el centro.

[felixnavarro]

De hecho es de lo que trata la pregunta 1 del examen.

[Ruffinii]

Muy bien chicos. Si alguien no tiene el Marion a mano la referencia que ha dicho Charlee8 está en googlebooks:
http://books.google.com/books?id=MpblAX ... &q&f=false

[KMA]

Pero aquí la cuestión es poner la masa en función del volumen y hacer la integral (considerando la densidad constante), y sale la 3, no la 4.

[desiderius]

Yo esta la impugnaré por lo siguiente:

No es posible dar la relación entre potencial gravitatorio y radios porque no sabemos la relación entre densidad y radio. Si supusieramos que la densidad es constante entonces en efecto la 4 es correcta.

Pero a nadie se le ocurriría plantear que el potencial de un planeta a distancias d>R depende de R^3 puesto que sus densidades son diferentes entre ellos e incluso en su interior.

Con la información del enunciado sólo se puede establecer la ley de gravitación universal:

Potencial (d) = G·M/d

El quid de la cuestión es la dependencia de M con los radios del donut de radios a y b. La masa es

M = integral {rho(r)·dr} en el intervalo [a,b].

pero como no conocemos el campo escalar densidad rho(r), la respuesta no se puede dar. Simplemente podemos decir que el potencial es directamente proporcional a la masa M e inversamente proporcional a la distancia d donde nos situamos.

Si suponemos que la densidad es constante rho (r) independiente de r, entonces la 4 está bien. Pero no tenemos por qué suponer nada. En problemas reales de astronomía esto nunca será cierto por ejemplo.

[Audrey]

Lo cierto es que usando la ecuación que nos da el Marion para este caso: phi=-GM/r, sólo hay que poner la masa M en función de sus radios interior y exterior: M=rho*Volumen, siendo el Volumen de una esfera hueca y homogénea: V=4*(pi/3)(a3-b3). Y ya está. Pero estoy con vosotros en lo de que tendrían que haber especificado que la esfera era homogénea, como hace el Marion.... En fin, lo de siempre, vaya preguntitas...