Pregunta de cuántica

Foro de discusion Sobre RFH

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felixnavarro
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Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

Hola chicos, estoy intentando aprender cosillas básicas de cuántica pero la verdad es que sin nadie que me lo explique me está llevando demasiado tiempo. Así que tras mucho buscar sin éxito me he encontrado con una duda.

El número de niveles degenerados en un espacio de D dimensiones y simétrico ¿cuantos estados degenerados tiene para el nivel n? Para el 1 ¿habría D?, para el 2 ¿CombinacionesRepetición(D,2)? y así sucesivamente... ¿?

Vamos, la pregunta se traduce en el número de soluciones de n1^2+n2^2+....nD^2=n^2. ¿Sabéis la respuesta?
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letifisica
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por letifisica »

Félix, no te sigo. Por lo que yo sé, la degeneración no solo depende de las dimensiones del espacio sino que también depende del sistema que estemos estudiando: un pozo infinito, un escalón de potencial, un potencial central. Creo que no hay una degeneración general, sino una en cada caso. ¿qué caso estás estudiando?
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felixnavarro
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

Estaba mirando el pozo en tres dimensiones con longitudes iguales. Pero por lo que he visto ese es el que hay que hacer a la cuenta de la vieja ¿no?

Además de ese he estado mirando el oscilador en 2D y me parece que ese está n+1 veces degenerado y aquí sí vale nx o ny = 0 ¿es así?

Por último, y este no lo tengo muy claro, he visto el oscilador en 3D, me parece que degeneraba 1/2(n+1)(n+2) veces ¿no?

Cuando leo cosas de esto me parece escuchar en mi cabeza "lollito... sí, fanta sí" "pollo con almendla".
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atesor
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por atesor »

Buenas...

Lo que he encontrado es q en general un atomo monoelectronico tiene para cada valor de n^2 funciones degeneradas para cad n

RST
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letifisica
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por letifisica »

A ver, nunca me ha gustado mucho esto de las degeneraciones y compendo cómo te sientes. Yo le he dado muchas vueltas y siento lo mismo... Te lo he estado buscando en mis apuntes para darte los datos más fiables, pero como pasa siempre que buscas algo que no te gusta y no recuerdas donde está, lo que he encontrado me gusta sólo a medias. Pero te lo voy poniendo para que tengas un punto de partida.

- Pozo cuadrado infinito 1D: gn=1 (Un estado por energía, vamos, que no está degenerado)

- Pozo infinito 3D: como viene dado por tres números cuánticos n1, n2, n3. Tiene g=1 cuando el nivel es tal que n1=n2=n3 y es mayor cuando dos de ellos son iguales y el otro es distinto o los tres son distintos, siendo la misma configuración. ¿A ésto te refieres con lo de la cuenta de la vieja?

- Oscilador armónico 1D: gn=1

- Oscilador armónico 3D: gn = (n+1)*(n+2)/2 n=nx+ny+nz

- Átomo hidrogenoideo: (como ha dicho atesor) gn= n^2 (si no cuentas el spin) y 2*n^2 (si cuentas el spin del electrón)
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felixnavarro
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

La verdad es que no he entendido muy bien lo del pozo en 3D. Pero por lo demás, el único problema es encontrar algo para sacar de la memoria que deje entrar a eso. :roll:

Muchas gracias.

Por cierto, D-8... :bounce:
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letifisica
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por letifisica »

perdona, tendría que haber sido más explícita. Voy a reintentarlo...

La energía del pozo en 3d es: E(nhx,ny,nz) = (pi*h/4pi*m*a^2)* (nx^2 + ny^2 + nz^2)
con a= lado del pozo (que como es en 3d es un cubo) = lado del cubo
y cada una de las n son las que aparecen con las tres coordenadas x,y,z en la función de onda.
Como sigo sin aprender Latex y a una semana del examen no lo voy a hacer, te pongo un enlace a un libro de los de google, en el que viene la ecuación: http://books.google.es/books?id=QumDfuX ... &q&f=false

En fin, que las ni van desde 1 hasta lo que quieras y toman valores de forma independiente, por lo que puede pasar que distintos estados tengan la misma energía (que es lo que es la degeneración). Te pongo algún ejemplo:

nx ny nz E
1 1 1 E111= (pi*h/4pi*m*a^2)* (3) -> Una forma

2 1 1 E211= (pi*h/4pi*m*a^2)* (6)
1 2 1 E121= (pi*h/4pi*m*a^2)* (6)
2 1 2 E112= (pi*h/4pi*m*a^2)* (6) -> Misma energía de tres formas: degeneración = 3

5 2 2 E522= (pi*h/4pi*m*a^2)* (33)
2 5 2 E252= (pi*h/4pi*m*a^2)* (33)
2 2 5 E225= (pi*h/4pi*m*a^2)* (33)
4 4 1 E441= (pi*h/4pi*m*a^2)* (33)
4 1 4 E414= (pi*h/4pi*m*a^2)* (33)
1 4 4 E144= (pi*h/4pi*m*a^2)* (33) -> Degeneración 6

Y no tengo una ecuación que te diga, para cada energía cuantos niveles posibles, hay, con lo que hay que contar. Supongo que es a esto a lo que te referías con lo de la cuenta de la vieja...
No saques cosas valiosas de la memoria, pues mi bola de cristal (osea, mi esperanza) es que este año no caiga. No me baso en nada más que en mi deseo, pero es que es un tema tan perezoso, que si va a caer el acoplamiento LS como tú dijiste ¿porqué va a caer esto? :cyclopsani:

¡Ah! y D-8 no existe, así que no les des ideas :!:
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felixnavarro
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

Muchas gracias chica. Creo que algún hueco tengo aún en la cabeza, siempre puedo sacar algunas canciones que no necesito ni quiero... ¡decidido! no necesito saber las letras de Alejandro Sanz ¿por qué leche tengo que saberlas?

Jeje, me haré una lista de estas cosas para llevarla encima estos días y la miraré en sitios insospechados, a ver si algo se queda.

Por cierto, D-8 todavía.
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felixnavarro
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

Ok, ya sé de que va esto de los operadores. Como diría mi vecino "noveeea abe vieo".

Ahora, he estado buscando por internete los operadores que conmutan y los que no sin mucho éxito. Por el principio de incertidumbre está claro que p y r no lo hacen, pero ¿y los demás? ¿alguen tiene esto por ahí? Tampoco veo muy claro como aprovechar la otra versión del ppo de incertidumbre, porque la t no aparece por ningún lado.

En resumen, ¿qué operadores conmutan?

Perdonad las ediciones, pero había un par de errores tipográficos que me quemaban la vista.
Última edición por felixnavarro el 23 Ene 2011, 12:16, editado 3 veces en total.
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por KMA »

En mi lista tengo los siguientes operadores que conmutan, se podrían buscar más pero son los más importantes:

X con y, con py y con pz. Lo mismo con y y con z
L^2 con Li (ya sea la x, y o z)
Lx con X, Ly con y y Lz con z, pero no los cruzados
Lx con px, Ly con py y Lz con pz, pero no los cruzados
Para las fuerzas centrales, L con p^2 (energía cinética), con el potencial central y por lo tanto con el Hamiltoniano también
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letifisica
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por letifisica »

Tío, haces unas preguntas... Me obligas a ir todo el rato a desempolvar mis pobres apuntes, pues ya que te lo digo, no quiero dejarme nada. Vamos que quiero decirlo bien. Empiezo por el principio teórico y te digo como lo hago yo.

1- La relación de conmutación: [A,B] = AB - BA

2- Dos operadores que conmutan, es decir, que su comnutador es nulo, son compatibles. Por lo mismo, son incomplatibles cuando el conmutador es distinto de cero. Y cuando son compatibles existe una base de autovectores que es propia de ambos a la vez

3- Propiedades:
[A,A] = 0
[A, f(A)] = 0
[A, B] = 0 implica [A,f(B)]=0; [f(A),B] = 0
[A,B] = - [B,A]
[A, nB + mC] = n [A,B] + m [A,C] (n y m números naturales)
[A, BC] = B [A,C] + [A,B] C

4- Reglas canónicas de conmutación (4ºpostulado de la Mecánica Cuántica):
Llamando Qi a las coordenadas cartesianas: X, Y, Z
y Pi a las componentes del momento canónico: Px, Py, Pz

[Qi,Qi] = 0
[Pi, Pi] = 0
[Qi,Pj] = i h/2pi δ(ij)* matriz unitaria


con δij= 1 cuando i=j y cero en el otro caso
Última edición por letifisica el 23 Ene 2011, 16:21, editado 1 vez en total.
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por letifisica »

Hasta aquí la teoría. Te pongo unos ejemplos de lo sencillo:

[X,Y] = 0
[Px, Py] = 0
[X,Px] = ih/2pi
[X,Py] = 0

¿Y si son otros operadores? ¿qué hago yo? bueno, pues miro su descomposición en posiciones y momentos. Te pongo los dos más típicos, que son los que se me ocurren, si quieres algún otro dilo:

L = r x P --> Y hago las componentes desarrollando el producto vectorial o el cuadrado si piden L^2

H = T+V --> T= P^2/2m, v=V(X)

Y con las reglas y las propiedades, van saliendo los ejercicios. Inténta alguno y si no te sale lo vemos
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felixnavarro
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

Guau, estoy asombrado. ¡Qué velocidad!.

Muchas gracias, a ver si veo el operador L^2 ese porque no lo conozco. Sólo conozco posición (r), momento lineal -ih∂ (¿p?), -ihrX∂ (¿l?), -(h²/2m)d² (¿T?) e ih∂/∂t (¿H?)


Muchas gracias.

Que agudeza la mia al pensar que L^2 es el cuadrado de L... estoy que me salgo hijo.
Última edición por felixnavarro el 23 Ene 2011, 12:41, editado 1 vez en total.
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por letifisica »

L^2 es el módulo del momento lineal al cuadrado

Pero una cosa, todos los operadores que pones están bien, pero cuando se estudia la conmutación, no se escriben "tal y como son" sino que pones simplemente X o Px o T y como mucho, cambias T por P^2/2m pero, no por deribadas y esas cosas. Por eso se hicieron las reglas de conmutación (el 4ºpostulado) para trabajar con ellos de forma mucho más cómoda. Aunque detrás de lo que hagamos, estén las expresiones que tú has escrito.

Nota al margen ¿como pones deltas y letras griegas? ¿hace falta Latex muy complicado o las pobres usuarias no avanzadas podríamos hacerlo? Es que quedan tan bien... y hace la lectura mucho más rápida.
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Re: Pregunta de cuántica

Mensaje por felixnavarro »

letifisica escribió:L^2 es el módulo del momento lineal al cuadrado
L^2 entonces no es LL sino p^2?

Para mi p = momento lineal
L = momento angular.

Inicio->programas->accesorios->herramientas del sistema-> mapa de caracteres. Yo los tengo todos en un post-it de estos que se puede poner en el vista y de ahí copio y pego.
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